Eulero

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Eulero
Nome Cognome Sesso Luogo di nascita Data di nascita Luogo di morte Data di morte Attività	Leonhard Euler M Basilea 15 aprile 1707 San Pietroburgo 18 settembre 1783 matematico, fisico

Leonhard Euler, noto in Italia come Eulero (nato a Basilea il 15 aprile 1707 e morto a San Pietroburgo il 18 settembre 1783) fu un matematico e fisico svizzero; è considerato il matematico più importante del Settecento.

Biografia

Infanzia

Eulero nacque a Basilea il 15 aprile 1707, figlio di Paul Euler e di Marguerite Brucker. Ebbe due sorelle di nome Anna Maria e Maria Magdalena. La famiglia si trasferì a Riehen, poco dopo la nascita di Eulero. Il padre di Leonhard era amico della famiglia Bernoulli, e di Johann Bernoulli uno dei matematici più famosi d'Europa.

Eulero tredicenne entrò all'Università di Basilea e si laureò in filosofia. A quel tempo riceveva lezioni di matematica da Johann Bernoulli. Nel 1726 Eulero completò il dottorato sulla propagazione del suono e l'anno seguente partecipò al Grand Prix dell' Accademia francese delle scienze. Arrivò secondo subito dopo Pierre Bouguer.

San Pietroburgo

In quegli anni, Daniel e Nicholas Bernoulli lavoravano all'Accademia Imperiale delle scienze di San Pietroburgo. Siccome c'era un'Università per paese, c'era solo una cattedra di matematica, quella di Basilea venne ricoperta da Jacob Bernoulli dal 1687 al 1705 e più tardi da suo fratello Johann fino al 1748.

Nel 1726 morì Nicholas e Daniel prese la cattedra di matematica e fisica lasciando la sua cattedra di medicina.

Eulero arrivò a Mosca nel 1727 dove alloggiò con Daniel Bernoulli, con cui creò un'intensa collaborazione matematica.

L'Accademia era stata creata da Pietro il Grande per poter annullare il divario scentifico tra la Russia e l'Occidente.

Il matematico sposò Katharina Gsell nel 1734.

Berlino

A Eulero fu offerto un posto all'Accademia di Berlino da Federico il Grande di Prussia, lui accettò e partì per la capitale tedesca nel 1741. Là ebbe la fortuna di conoscere Johann Sebastian Bach. Fece da tutore alla principessa di Anhalt-Dessau ( Lettere a una principessa tedesca).

Eulero dovette allontanarsi da Berlino per un conflitto con il re Federico iI di Prussia che criticò le sue capacità ingegneristiche.

Perdita della vista

La vista del matematico peggiorò durante la sua carriera. Dopo aver sofferto di una febbre celebrale, nel 1735 diventò quasi cieco all'occhio destro. La vista da quell'occhio peggiorò così tanto durante il suo soggiorno in Germania, infatti Federico II lo soprannominò " il mio Ciclope". Successivamente soffrì di cataratta all'occhio sinistro, e questo lo rese quasi completamente cieco. Benchè cieco, la sua attività di studioso non si fermò, grazie alla sua memoria di ferro.

Ritorno in Russia

Nel 1766 Caterina la Grande salì al potere e lo invitò a San Pietroburgo.

Eulero restò in Russia fino alla sua morte. Perse la sua moglie Katharina 1773, da cui aveva avuto 13 figli, di cui solo 5 erano sopravvissuti.

Opere e date importanti

Tra le opere di Eulero più significative troviamo:

• (LA) Mechanica, sive Motus scientia analytice exposita, vol. 1, Sankt-Peterburg, Akademija nauk, 1736.
• (LA) Mechanica, sive Motus scientia analytice exposita, vol. 2, Sankt-Peterburg, Akademija nauk, 1736.
• Tentamen novae theoriae musicae (1739)
• Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (1741)
• Dissertatio de magnete (1743)
• Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti (1744)
• (LA) Theoria motuum planetarum et cometarum, Berlin, Johann Gottfried Michaelis, 1744.
• Introductio in analysin infinitorum (1748)
• Institutiones calculi differentialis (1755)
• Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (1765)
• Institutionum calculi integralis (1768-1770)
• Vollständige Anleitung zur Algebra (1770)
• Lettres à une Princesse d'Allemagne (1768-1772)
• Theoria motuum lunae (1772)

(FR) Théorie complete de la construction et de la manoeuvre des vaisseaux, Paris, Charles Antoine Jombert,, 1776.

Le date principali che caratterizzano la vita di Leonhard Euler sono molte ma ne individuiamo 16:

• 1707 Il 15 aprile Eulero nasce a Basilea, in Svizzera.
• 1720 Con la protezione di Johann Bernoulli, entra nell'Università di Basilea.
• 1723 Riceve il titolo di Magister in filosofia con uno studio comparativo tra le idee di Cartesio e Newton.
• 1727 Emigra in Russia quando non ottiene un posto come professore di fisica all'Università di Basilea.
• 1731 E' nominato professore di fisica dell'Accademia delle Scienze di San Pietroburgo. La sua scalata gerarchica nell' Accademia lo rende una figura di riguardo tra gli scienziati.
• 1734 Sposa Katharina Gsell, figlia di un pittore dell'Accademia, con cui avrà 13 figli, dei quali però sopravviveranno solo 5.
• 1735 A poco a poco comincia a perdere la vista da un occhio, cosa che non gli impedisce, tuttavia, di diventare famoso nel mondo scientifico dopo la risoluzione del problema di Basilea.
• 1736 Pubblica il suo primo libro e accresce la sua fama risolvendo il problema dei ponti di Königsberg.
• 1741 Rispondendo alla chiamata dal re di Prussia, Federico II, Eulero e famiglia si trasferisconoa Berlino, dove egli ottiene una carica nell'Accademia della città.
• 1742 Eulero e Goldbach discutono nelle loro lettere quella che in seguito è stata chiamata la congettura di Goldbach.
• 1748 Pubblica una delle sue opere più importanti, Introductio in analysin infinitorum, dove si occupa soprattutto delle funzioni matematiche.
• 1755 Pubblica un'altra delle sue opere fondamentali, Istitutiones calculi differentialis, sul calcolo differenziale.
• 1766 Eulero lascia Berlino e ritorna in Russia, a causa della mancanza di intesa con Federico II.
• 1768-1770 Pubblica la terza e ultima delle sue grandi opere sull'analisi, Istitutiones calculi integralis.
• 1771 Eulero diiventa definitivamente cieco quando si ammala di caracatta all'occhio sano, il che non fa che sviluppare ulteriormente la sua abilità nel calcolo mentale.
• 1783 Il 18 settembre muore a San Pietroburgo per un'emorragia celebrale.

Contributi matematici

Eulero introdusse moltissime notazioni in uso ancora oggi: tra queste,  per la funzione, l'attuale notazione per le funzioni trigonometriche come seno e coseno, e la lettera greca Σ per la sommatoria. Per primo usò la lettera  per indicare la base dei logaritmi naturali, un numero reale che ora è chiamato anche numero di Eulero, e la lettera i per indicare l'unità immaginaria. L'uso della lettera greca π per indicare pi greco, introdotto all'inizio del XVIII secolo da William Jones, diventò standard dopo l'utilizzo che ne fece Eulero.

Il numero di Nepero

Un esempio su come le notazioni usate da Eulero abbiano preso il sopravvento gradualmente è l'elenco delle notazioni usate per indicare il numero e tra il 1690 e il 1787, tratto da un libro di Florian Cajori, matematico del XIX secolo. In questo elenco Cajori presenta i diversi simboli per il numero e. Dall'introduzione a opera di Eulero la sua notazione è stata accettata quasi universalmente, anche se non mancano le eccezioni.

• 1690  b   Leibniz, Letter to Huygens
• 1691  b   Leibniz, Letter to Huygens
• 1703  a   A reviewer, Acta eruditorum
• 1727  e   Euler, Meditatio in Experimenta explosione tormentorum nuper instituta
• 1736  e   Euler, Mechanica sive motus scientia analytice exposita
• 1747  c   D'Alembert, Histoire de l'Académie
• 1747  e   Euler, various articles.
• 1751  e   Euler, various articles.
• 1760  e   Daniel Bernoulli, Histoire de l'Académie Royal des Sciences
• 1763  e   J. A. Segner, Cursus mathematici
• 1764  c   D'Alembert, Histoire de l'Académie
• 1764  e   J. H. Lambert, Histoire de l'Académie
• 1771  e   Condorcet, Histoire de l'Académie
• 1774  e   Abbé Sauri, Cours de mathématiques

Non si conosce il perché della scelta di Eulero: si potrebbe trattare dell'iniziale di "esponenziale" o la prima lettera dell'alfabeto non ancora usata in matematica.

Analisi e Analisi complessa

Eulero diede importanti contributi allo studio dei numeri complessi. Scoprì quella che è oggi chiamata formula di Eulero, da questa ricavò l'identità di Eulero.

Questa formula, ritenuta da Richard Feynman "la più bella formula di tutta la matematica", collega armoniosamente cinque numeri estremamente importanti: e, π, i, 1 e 0. Nel 1988, i lettori del Mathematical Intelligencer la votarono come "La più bella formula matematica di sempre". Inoltre Eulero era lo scopritore di tre delle cinque formule più votate.

L'analisi era il campo di studio principale del XVIII secolo e i Bernoulli, erano i principali esperti del settore. Scopo principale di Eulero era catturare l'infinito, effettuare operazioni ancora non ben formalizzate, quali somme e prodotti di un numero infinito di numeri. Benché tali operazioni fossero al tempo mancanti di una solida base formale (data oggi dal concetto di limite di una successione e dalla struttura assiomatica dei numeri reali) e le sue dimostrazioni non fossero quindi completamente rigorose, portarono comunque a numerosi risultati corretti che fecero fare all'analisi un grosso passo in avanti.

Per prima cosa Eulero introdusse il concetto di funzione, l'uso della funzione esponenziale e dei logaritmi. Trovò i modi di esprimere le varie funzioni logaritmiche in termini di serie e definì i logaritmi per i numeri complessi e negativi, espandendone notevolmente la portata.

Eulero calcolò quindi il risultato di un certo numero di serie importanti, anche se, come è stato accennato, a quel tempo il significato di "somma e/o prodotto di infiniti termini" non era ancora rigorosamente formalizzato. Tra i suoi straordinari contributi alla matematica ricordiamo la scoperta dello sviluppo dell'arcotangente e la soluzione, nel 1735, del problema di Basilea; successivamente trovò la forma chiusa per la somma dell'inverso di ogni potenza pari. Definì così in modo implicito la funzione zeta di Riemann. Studiando questa funzione scoprì in seguito quello che oggi chiamiamo, in suo onore, il prodotto di Eulero e suggerì per primo la formula di riflessione per la funzione zeta. Dimostrò l'infinità dei numeri primi partendo dalla divergenza della serie armonica.

Una sorprendente serie di Eulero, che si potrebbe chiamare "serie armonica corretta", mette in relazione pi greco con gli inversi di tutti i numeri naturali:

I segni dei termini, dopo i primi due, si determinano come segue:

• il denominatore è un numero primo del tipo (4m – 1): segno positivo;
• il denominatore è un numero primo del tipo (4m + 1): segno negativo;
• il denominatore è un numero composto: prodotto dei segni dei singoli fattori.

La sua convergenza è molto lenta, quindi non è adatta per i calcoli, ma rimane comunque tra le più eleganti delle serie che convergono a pi greco.

Grazie a questi risultati Eulero inoltre aprì la strada all'applicazione di metodi analitici nella teoria dei numeri: unì due rami disparati della matematica e introdusse un nuovo campo dello studio, la teoria analitica dei numeri. Nel secolo successivo questa sarebbe arrivata alla formulazione di importanti teoremi e alla formulazione dell'ipotesi di Riemann.

Inoltre Eulero introdusse la funzione gamma e un nuovo metodo per risolvere l'equazione di quarto grado. Trovò un metodo per calcolare gli integrali usando i limiti complessi. Introdusse la costante di Eulero-Mascheroni definita come:

Infine, Eulero contribuì enormemente alla nascita del calcolo delle variazioni con le equazioni di Eulero-Lagrange.

Teoria dei numeri

Il grande interesse di Eulero alla teoria dei numeri fu acceso dal suo amico Christian Goldbach. Molto del suo lavoro sulla teoria dei numeri riguarda la dimostrazione (o confutazione) delle molte congetture di Pierre de Fermat.

Eulero provò la correlazione tra numeri primi e funzione zeta di Riemann scoprendo la formula prodotto di Eulero. Provò poi le identità di Newton, il piccolo teorema di Fermat, sulle somme di due quadrati e diede importanti contributi alla risoluzione del teorema dei quattro quadrati e alla comprensione dei numeri perfetti. Inventò la funzione phi di Eulero φ(n) che assegna a ogni numero naturale il numero di numeri minori di esso e coprimi a esso. Con questa funzione generalizzò il piccolo teorema di Fermat (teorema di Eulero). Eulero congetturò inoltre la legge della reciprocità quadratica.

Uno dei più grandi successi di Eulero in questo campo fu però la dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat per il caso particolare in cui n=3, ossia la dimostrazione che la somma di due cubi non può essere uguale a un cubo. Questa dimostrazione è effettuata per discesa infinita e fa uso anche dei numeri complessi.

Teoria dei grafi e topologia

Mappa di Königsberg con i sette ponti messi in evidenza

Nel 1736 Eulero risolse il problema dei ponti di Königsberg. La città di Königsberg (ora Kaliningrad) è percorsa dal fiume Pregel e da suoi affluenti e presenta due estese isole che sono connesse tra di loro e con le due aree principali della città da sette ponti. La questione è se sia possibile con una passeggiata seguire un percorso che attraversa ogni ponte una e una volta sola e tornare al punto di partenza. Eulero dimostrò che la passeggiata ipotizzata non era possibile a causa del numero dispari di nodi che congiungevano gli archi (ossia delle strade che congiungevano i ponti). La soluzione di Eulero diede origine alla teoria dei grafi, che si sarebbe poi evoluta dando origine alla topologia.

Eulero introdusse poi la formula per i poliedri convessi che unisce il numero dei vertici V, degli spigoli S e delle facce F nella cosiddetta relazione di Eulero:

Più in generale, il numero  è una costante importante, definita per molti enti geometrici, chiamata caratteristica di Eulero. Fu studiata da Cauchy (che tra l'altro diede la prima dimostrazione rigorosa della relazione di Eulero) ed estesa successivamente da Poincaré a molti oggetti topologici.

Geometria analitica

Eulero diede anche importanti contributi alla geometria analitica come la formulazione delle equazioni che descrivono il cono, il cilindro, e le varie superfici di rotazione. Dimostrò anche che la geodetica passante per due punti in una qualsiasi superficie si trasforma nella retta passante per quei due punti se la superficie viene appiattita. Fu il primo a considerare tutte le curve insieme senza una predilezione per le coniche e a studiare a fondo anche le curve generate da funzioni trascendenti come la sinusoide.

Svolse anche un importante lavoro di classificazione delle curve e delle superfici. Nell'Introductio in analysin infinitorum si trova poi una completa ed esauriente trattazione delle coordinate polari che vengono esposte nella forma moderna. Per ciò, ancora oggi, spesso si indica erroneamente Eulero come l'inventore di questo sistema di notazione.

Dimostrò anche un paio di semplici teoremi di geometria pura, come per esempio l'affermazione che il circocentro, il baricentro e l'ortocentro di un triangolo sono sempre allineati. In suo onore tale retta fu chiamata retta di Eulero.

Matematica applicata

Alcuni dei successi più grandi di Eulero furono nell'applicazione di metodi analitici a problemi reali, con l'uso di diagrammi di Venn, numeri di Eulero, costanti, frazioni continue e integrali. Integrò il calcolo integrale di Leibniz con il metodo delle flussioni di Newton il che gli rese più facile risolvere alcuni problemi fisici. In particolare, contribuì allo studio dell'approssimazione degli integrali con vari risultati, tra cui il metodo di Eulero e la formula di Eulero-Maclaurin.

La relazione di Eulero

La relazione di Eulero è una funzione che si usa in geometria. Infatti dice che:

F+V=S+2

Ovvero la somma delle facce e dei vertici di un prisma è uguale alla somma degli spigoli più 2.

Sudoku

Uno dei passatempi più conosciuti in questo periodo, è il sudoku, un gioco che risale al 1979, quando comparve su Dell pencil puzzles and word games. Arrivò in Giappone con il nome di sudoku (numeri sciolti). Non è di origine giapponese, bensì americana.

Esempio di sudoku

Esso affonda le sue radici in Eulero e nei quadrati latini. Non è altro che un quadrato latino di ordine9, con 9 sottoquadrati, dentro i quali si possono disporre le cifre dall'1 al 9.

Bibliografia e sitografia

• Wikipedia
• Treccani
• Joaquìn Navarro Sandalinas, Dal calcolo semplice all'analisi matematica Eulero, Milano, RBA 2017.

Voci correlate

• Basilea
• San Pietroburgo
• Matematica
• Filosofia
• Geometria
• Newton
• Scienza
• Pi greco

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