Teorema di Pitagora

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rappresentazione del teorema di Pitagora su triangolo rettangolo

Il teorema di Pitagora riprende le terne pitagoriche rappresentandole geometricamente intendendo per "quadrato di un numero" la figura geometrica del quadrato. Il teorema di Pitagora quindi stabilisce la relazione tra i lati di un triangolo rettangolo e i quadrati costruiti su ipotenusa e cateti e le rispettive aree.

Terne pitagoriche

Una terna è un gruppo di numeri e l’aggettivo pitagorica è dovuto al fatto che Pitagora le ha utilizzate per formulare il suo teorema, anche se esistevano anche al tempo degli egizi e dei cinesi. Esse infatti risalgono circa al 2000 a.C.

Una terna pitagorica è una terna di tre numeri naturali $a,~b,~c$ tali che $a^{2}=b^{b}+c^{2}$.

La terna pitagorica più piccola è composta dai numeri 3, 4, 5. Infatti: $5^{2}=3^{2}+4^{2}=9+16=25$.

Esse si dividono in terne primitive e terne derivate.

Le terne primitive sono composte da numeri primi fra loro; le terne derivate nascono moltiplicando per uno stesso numero tutti i tre numeri che compongono una terna primitiva.

Enunciato

Il teorema di Pitagora stabilisce che il quadrato costruito sull'ipotenusa (in un triangolo rettangolo l'ipotenusa è il lato opposto all'angolo retto, cioè di 90°) è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti (in un triangolo rettangolo un cateto è il lato adiacente all'angolo retto.

Formule

Le formule per il calcolo degli elementi del triangolo rettangolo con l'utilizzo del teorema di Pitagora sono:

1. ${\text{Ipotenusa}}={\sqrt {C_{1}^{2}+C_{2}^{2}}}$
2. ${\text{Cateto}}_{1}={\sqrt {I^{2}-C_{2}^{2}}}$
3. ${\text{Cateto}}_{2}={\sqrt {I^{2}-C_{1}^{2}}}$

Dimostrazione

immagine

La dimostrazione del teorema di Pitagora di Perigal è una dimostrazione che prevede l'utilizzo di una traslazione per "riempire" il quadrato costruito sull'ipotenusa con le varie parti dei quadrati costruiti sui 2 cateti.

Applicazione alle figure geometriche

Il teorema di Pitagora può anche essere utilizzato per calcolare le misure degli elementi di varie altre figure, ad esempio il rettangolo, il quadrato e il triangolo equilatero. Nelle seguenti figure di possono notare delle corrispondenze tra i suoi elementi e quelli del triangolo rettangolo, ovvero:

1. la diagonale corrisponde all'ipotenusa
2. la base con il cateto1
3. l'altezza on il cateto2

Rettangolo

applicazione del teorema di Pitagora su un rettangolo

Formule per gli elementi del rettangolo, dove si considera $b$ per base, $h$per altezza e $d$ per diagonale:

1. ${\text{diagonale}}={\sqrt {b^{2}+h^{2}}}$
2. ${\text{base}}={\sqrt {d^{2}-h^{2}}}$
3. ${\text{altezza}}={\sqrt {d^{2}-b^{2}}}$

Quadrato

applicazione del teorema di Pitagora su un quadrato

Formule per gli elementi del quadrato di lato $l=4$:

1. diagonale "d"= ${\sqrt {16+16}}={\sqrt {16\times 2}}$ utilizzando le proprietà delle radici ${\sqrt {2}}\times {\sqrt {16}}$ quindi FORMULA DIRETTA= √2*l FORMULA INVERSA= d/√2

1. base= (√d2-h2)
2. altezza= (√d2-b2)

Triangolo equilatero

applicazione del teorema di Pitagora su un triangolo equilatero

Nota Bene:

1. ipotenusa= lato obliquo
2. cateto magg.= altezza
3. cateto min.= base/2

formula per trovare l'altezza del triangolo rettangolo: h= √l2-(b/2)2 h= √l2-l2/4 h= √3/4*l2 h= √3/4 * √l = [(√3)/2]*l h= (1,73/2)*l = 0,866*l

NB: h= 0,866*l → l=h/0,866

Collegamenti esterni

• Sapere.it
• Studenti.it
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