Teoremi di Euclide

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Sia il primo che il secondo teorema riguardano il triangolo rettangolo. Essi hanno svolgimenti simili tra di loro, ma trattano cose differenti.

Primo teorema di Euclide[modifica | modifica wikitesto]

L'enunciato di questo teorema riguarda i cateti, l'ipotenusa e le proiezioni sui cateti.

Enunciato del teorema[modifica | modifica wikitesto]

Enunciato con l'equivalenza[modifica | modifica wikitesto]

Questo teorema dice che il quadrato costruito sul lato di un cateto è equivalente al rettangolo costruito sulla proiezione sull'ipotenusa di questo cateto, avente come seconda misura l'ipotenusa stessa.

Esempio:

  • ABC = triangolo rettangolo = 11.7 cm
  • AB = ipotenusa = 5 cm
  • BC = cateto maggiore = 4.5 cm
  • CA = cateto minore = 2.2 cm
  • AH = proiezione cateto minore = 1 cm
  • HB = proiezione cateto maggiore = 4 cm

e quindi

  • CA x CA = AH x AB = 2.2 x 2.2 = 1 x 5
  • BC x BC = HB x AB = 4.5 x 4.5 = 4 x 5

Enunciato con le proporzioni[modifica | modifica wikitesto]

In ogni triangolo rettangolo i cateti sono medi proporzionali tra l'ipotenusa e la propria proiezione sull'ipotenusa.

Esempio :

  • AH / CA = CA / AB = 1 / 2.2 = 2.2 / 5
  • HB / BC = BC / AB = 4 / 4.5 = 4.5 / 5

Secondo teorema di Euclide[modifica | modifica wikitesto]

In questo enunciato si parla dell'altezza e delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

Enunciato del teorema[modifica | modifica wikitesto]

Enunciato con l'equivalenza[modifica | modifica wikitesto]

Nel triangolo rettangolo, se si prende l'altezza relativa all'ipotenusa e ci si costruisce un quadrato sopra, la sua area sarà uguale a quella di un rettangolo costruito sulla proiezione di uno dei due cateti, avente come secondo lato la proiezione dell'altro cateto.

Esempio:

  • ABC = triangolo rettangolo = 20 cm
  • CH = altezza = 4 cm
  • AH = proiezione cateto minore = 2 cm
  • HB = proiezione cateto maggiore = 8 cm

e quindi CH * CH = AH * HB = 4 * 4 = 2 * 8

Enunciato con le proporzioni[modifica | modifica wikitesto]

Questo enunciato afferma che nel triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa, è media proporzionale tra la proiezione del cateto maggiore e quella del cateto minore sull'ipotenusa.

Esempio:

HB / CH = CH / AH = 8 / 4 = 4 / 2