Rotazione geometrica
--Rotazione-- Nella rotazione i punti di una figura ruotano dello stesso angolo rispetto a un punto, detto centro di rotazione, mantenendo costante la distanza da esso. La rotazione può avvenire in senso orario (lo stesso verso delle lancette di un orologio) oppure in senso antiorario. La figura ruotata è congruente a quella di parti. Una rotazione è il movimento di un corpo che segue una traiettoria circolare. In due dimensioni, cioè sul piano, una figura può ruotare attorno ad un punto detto centro di istantanea rotazione; in tre dimensioni, la rotazione avviene intorno ad una retta detta asse di istantanea rotazione e più in generale, una rotazione in n dimensioni avviene attorno ad uno spazio a (n-2) dimensioni. Se il centro o l'asse di rotazione è completamente esterno all'oggetto che sta ruotando, si dice che il corpo descrive un'orbita: l'esempio tipico è quello della rivoluzione terrestre attorno al Sole. In caso contrario l'oggetto ruota su sé stesso, come farebbe una trottola. n geometria, per rotazione si intende quel movimento rigido avente come punti fissi un punto detto centro (in due dimensioni) o una retta detta asse (in tre dimensioni) di rotazione. Questo movimento sposta tutti i punti intorno al centro, o asse, di un angolo fissato.
-- Questo formalizza la percezione sensoriale secondo cui ruotare un oggetto indeformabile equivale a variare l'angolazione di tutti i suoi punti della medesima quantità, lasciando cioè invariate le relazioni angolari reciproche. In particolare, una rotazione è una trasformazione che preserva il prodotto scalare. Per distinguere le rotazioni dalle riflessioni si sottolinea la loro peculiarità di conservare, oltre alle angolazioni reciproche, anche l'orientazione della figura (in termini formali, il segno del prodotto scalare oltre che il modulo), cioè quella di mappare come si suol dire terne ordinate destrorse (sinistrorse) in terne destrorse (sinistrorse). Questo significa che se tre vettori ortogonali tra loro obbediscono alla regola della mano destra, allora continueranno a farlo anche dopo essere stati ruotati, cosa che invece non accade dopo una riflessione. Quest'ultima infatti manda terne destrorse in terne sinistrorse, e viceversa.
Le rotazioni, contrariamente alle riflessioni, possono essere viste come il risultato di un movimento continuo nel tempo (come in figura). Questa distinzione fra riflessioni e rotazioni, benché intuitiva, è espressa matematicamente in modo non banale e richiede alcuni concetti propri della topologia: una rotazione è isotopa alla funzione identità, mentre una riflessione no.
Nel formalismo dell'algebra lineare, una rotazione nello spazio euclideo equivale ad una matrice ortogonale speciale (cioè a determinante positivo). In questo ambito si suole infine generalizzare il concetto di rotazione a spazi di Hilbert di dimensione generica, al limite infinita (nel qual caso si parla di operatori unitari).
