Regola del tre

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La regola del tre è un metodo per risolvere i problemi in cui i dati sono due quantità proporzionali tra di loro: se si raddoppia una di esse, anche l'altra raddoppia - in questo caso di parla di proporzionalità diretta - oppure diventa la metà, e in questo caso si parla di proporzionalità inversa.

La regola viene anche chiamata "regola del tre semplice", perché è possibile usare un metodo simile quando le quantità iniziali sono più di due: in quel caso si parla di "regola del tre composto".

Applicazione della regola

Vediamo come risolvere un problema con la regola del tre semplice.

Regola del tre semplice diretta

Sia dato il seguente problema:

Se un muratore costruisce 4 metri di muro in 6 ore, quanti ne costruirà in 15 ore?

I dati in questo problema sono la quantità di muro costruita (4 m), il tempo necessario per costruirlo (6 ore), e il tempo per costruire un altro muro (15 ore); inoltre, anche se il problema non lo dice, sappiamo che ogni ora il muratore costruisce la stessa quantità di muro.

Per risolvere il problema, occorrono due passi successivi. Nel primo, si calcola la quantità di muro costruita nell'unità di tempo: nel nostro caso in un'ora. Poiché il dato iniziale parla di 6 ore, occorre dividere per 6 sia il tempo che la quantità di muro costruita; otteniamo così che in un'ora il muratore costruisce 4:6 metri di muro, cioè 2/3 di metro. Nel secondo passo si riporta il tempo totale a quanto indicato nel problema, cioè 15 ore; la lunghezza del muro costruito si moltiplicherà per lo stesso valore, ottenendo così il risultato finale, 10 metri. Nella tabella seguente si può vedere la regola applicata passo passo.

Ore lavorate	Metri costruiti
6	4
6:6 = 1	4:6 = 2/3
1×15 = 15	(2/3) ×15 = 10

Regola del tre semplice inversa

Sia dato il seguente problema:

Sei bambini si sono divisi le caramelle di una scatola e ciascuno di loro ne ha avute 14. È poi arrivato un settimo bambino, e tutti insieme hanno deciso di dividersi le caramelle in modo che tutti ne abbiano lo stesso numero. Quante ne avrà ciascuno?

I dati in questo problema sono il numero di bambini all'inizio (6), il numero di caramelle che ciascuno di loro ha ottenuto (14), e il numero finale di bambini (7). In questo caso è chiaro che se il numero di bambini raddoppia, ciascuno avrà solo la metà delle caramelle: quindi occorre applicare la regola del tre semplice inversa.

Il procedimento è simile a quello per la regola del tre semplice diretto: prima si fa arrivare a 1 la grandezza che conosciamo all'inizio e alla fine (il numero dei bambini) e poi la si porta al valore finale. Però in questo caso quando si divide il numero dei bambini dobbiamo moltiplicare il numero di caramelle, e viceversa. In definitiva, se ci fosse un solo bambino avrebbe 14×6 caramelle, cioè 84; con 7 bambini occorrerà dividere le 84 caramelle per 7, ottenendo il risultato finale di 12 caramelle. Nella tabella seguente si può vedere la regola applicata passo passo.

Bambini	Caramelle per bambino
6	14
6:6 = 1	14×6 = 84
1×7 = 7	84:7 = 12

Regola del tre composto

Per applicare la regola del tre composto, si applica tante volte quanto serve la regola del tre semplice a due dati lasciando gli altri intattei; bisogna verificare ogni volta se si deve applicare la regola diretta o inversa. Per esempio, prendiamo il classico indovinello Se un gatto e mezzo mangia un topo e mezzo in un minuto e mezzo, quanti gatti servono per mangiare sessanta topi in mezz'ora?. In questo caso la proporzionalità tra numero di gatti e tempo per mangiare i topi è diretta, mentre quella tra numero di gatti e numero di topi è inversa. Applicando la regola del tre composto, i passaggi sono i seguenti: prima si arriva al numero finale di topi, poi al tempo impiegato.

Numero gatti	Numero topi	Minuti impiegati
1,5	1,5	1,5
1,5:1,5 = 1	1,5:1,5 = 1	1,5
1×60 = 60	1×60 = 60	1,5
60×1,5 = 90	60	1,5:1,5 = 1
90:30 = 3	60	1×30 = 30

Tre gatti mangeranno quindi 60 topi in mezz'ora.

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