Logaritmo

Leggi come una mappa mentale

I logaritmi sono funzioni matematiche che − solitamente − si studiano a partire dal terzo anno delle scuole superiori. Essi sono le funzioni inverse degli esponenziali e sono molto utilizzati per rappresentare, sia in grafici, sia in scale numeriche, grandezze fisiche che hanno valori molti piccoli e molto grandi.

Proprietà matematiche

Grafico del logaritmo in base 2

I logaritmi hanno proprietà molto interessanti. In matematica si scrive: $y=\log _{a}(x)$ − ovvero la variabile $y$è il logaritmo, in base $a$di $x$ − e, da questo punto ci riferiremo a loro così.Innanzitutto è interessante osservare l'andamento della funziona stessa, come mostrato in figura.

Indipendentemente dalla sua base, si verifica quanto segue:

$\log _{a}{a}=1$

$\log _{a}1=0$

Pertanto, tutti i logaritmi, quando passano per le coordinate $(1,~0)$.

Ma l'aspetto più interessante è quando, nel suo argomento, compaiono moltiplicazioni o divisioni.

Moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza e radice

Una delle più importanti proprietà dei logaritmi è che il logaritmo della moltiplicazione di due numeri è la somma dei logaritmi dei due numeri stessi:

$\log _{a}(x\cdot y)=\log _{a}x+\log _{a}y.$

Viceversa, il logaritmo della divisione di due numeri è la sottrazione dei logaritmi dei due numeri stessi:

$\log _{a}{\frac {x}{y}}=\log _{a}x-\log _{a}y.$

Se applichiamo più volte la regola della moltiplicazione, con uno stesso numero, otteniamo:

$\log _{a}(x\cdot x\cdot x\cdot ~_{\dots }\cdot x)=\log _{a}x^{k}=k\cdot \log _{a}x.$Il regolo calcolatore

Infine si ha:

$\log _{a}{\sqrt[{k}]{x}}={\frac {1}{k}}\log _{a}(x),$

$\log _{a}{\frac {1}{x}}=-\log _{a}x.$

Applicazioni

Il regolo calcolatore

Un regolo calcolatore

Il poter trasformare moltiplicazioni e divisioni in somme e sottrazioni ha semplificato notevolmente i calcoli, soprattutto quando questi venivano fatti a mente e... senza nessuna calcolatrice. Quello che si vede in fotografia è un regolo calcolatore, molto utilizzato in ambito finanziario (per il calcolo delle percentuali, per esempio) e anche nei primi viaggi spaziali.

Allineando due numeri (in una scala logaritmica) e osservando dove finisce il cursore, è possibile fare agevolmente somme, divisioni, calcoli di percentuali e altro, con una discreta approssimazione.

La valuta

Banconote di valuta straniera

Questa proprietà è utilizzata anche nella vita di ogni giorno. Un esempio sono le banconote di qualsiasi valuta, tutte quante vengono emesse in soli tre tagli: 1, 2 e 5 (con i relativi multipli e sottomultipli).

Questo avviene per mantenere i rapporti tra i vari tagli di banconote pressoché identici senza introdurre calcoli complessi. Infatti, se si fosse optato per una progressione in ragione pari a 2, si sarebbero ottenuti tagli di 1, 2, 4, 8, 16 €... ovvero tutti discendenti da con intero (positivo o nullo), un po' complicato.

Un buon risultato lo si ottiene sostituendo il 4 con il 5. Tra 1 e 2 vi è un raddoppio, tra 2 e 5 un fattore 2,5, mentre tra 5 e 10 di nuovo un raddoppio. A questo punto il ciclo continua con buona pace di venditori e acquirenti che possono fare la spesa senza portarsi appresso un dottorato di ricerca in economia e finanza.

L'esempio non è stato tratto dalla nostra valuta: infatti chi ha girato il mondo vi potrà confermare che non esistono tagli di banconote e monete diverse da 1, 2 e 5 (moltiplicate per $10^{n}$, con $n$ intero).

Le note musicali

Le note musicali e le loro frequenze

Un altro esempio è costituito dalla scala musicale. La musica occidentale è composta di sette note e cinque alterazioni, in tutto 12 semitoni. Il tutto viene suddiviso per ottave, ovvero: a ogni ottava la frequenza raddoppia.

Per dare uniformità ai vari tipi d’intervallo ed eliminare le ambiguità tra tono maggiore, minore o semitono si impone che la frequenza di una nota, rispetto alla successiva, debba variare di un fattore costante, tale che – la variazione complessiva in un'ottava – comporti un raddoppio della frequenza:

${\sqrt[{12}]{2}}\simeq 1.0594630943593.$

Da qui si ricavano tutte le frequenza dei diversi strumenti musicali, imponendo al La centrale la frequenza di 440 Hz.

Il modo di dire "dare un La", deriva appunto da questo: quando il direttore d'orchestra chiede al primo violino un La a 440 Hz lo fa affinché tutti gli altri strumenti si accordino sulla sua frequenza.

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