Insieme

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In ambito matematico un insieme è una collezione di oggetti, detti elementi, elencati in modo che sia possibile stabilire con certezza la loro appartenenza all'insieme, in modo quindi oggettivo. Quando un elemento a è un elemento dell'insieme A, si dice che a appartiene ad A, in simboli aA, quando invece un elemento b non è un elemento dell'insieme A, si dice che b non appartiene ad A, in simboli bA. Gli insiemi vengono indicati con le lettere maiuscole dell'alfabeto.

Rappresentazione[modifica | modifica wikitesto]

Un insieme può essere rappresentato in diversi modi.

  • Per elencazione, consiste nell'elencare gli elementi separati dalla virgola tra parentesi graffe. Viene usato preferenzialmente per gli insieme finiti, insiemi con gli elementi che si possono contare.

A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

  • Per caratteristica, in cui viene indicata la caratteristica che accomuna gli elementi di un insieme.

A={x|x è un numero naturale}, si legge: A è l'insieme di tutti gli x tali che x è un numero naturale.

Insiemi rappresentati col diagramma di Eulero-Venn

Relazione tra insiemi[modifica | modifica wikitesto]

Due insiemi A e B si dicono:

  • Coincidenti, se sono lo stesso insieme. Questo si verifica se e solo se hanno gli stessi elementi.
  • Disgiunti, se non hanno nessun elemento in comune. Per esempio e .
  • Un insieme B è 'sottoinsieme di A se A contiene gli elementi di B. Secondo la definizione ogni insieme è contenuto in sé stesso. Per esprimere questo si usa la notazione . Se abbiamo gli insiemi e , allora .

Cardinalità[modifica | modifica wikitesto]

La cardinalità di un insieme è il numero che indica la numerosità dei suoi elementi. Un insieme si dice finito se ha un numero finito di elementi, infinito se contiene infiniti elementi.

L'insieme ha cardinalità 5 e si indica con . L'insieme dei numeri naturali ha cardinalità infinita.

L'insieme vuoto[modifica | modifica wikitesto]

L'insieme vuoto è l'insieme che non contiene nessun elemento. Si indica con i simboli ∅ Φ o con due parentesi graffe, la prima aperta e l'altra chiusa {}. L'insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi altro insieme (incluso sé stesso).

Operazioni con gli insiemi[modifica | modifica wikitesto]

  • unione: dati due insiemi A e B la loro unione è l'insieme che contiene solo e tutti gli elementi di A e B presi una sola volta. L'unione si indica AB;
  • intersezione: dati un insieme A e B la loro intersezione è l'insieme che contiene tutti gli elementi appartenenti ad A e a B nello stesso tempo.
  • differenza simmetrica: dati due insiemi A e B la loro differenza simmetrica è l'insieme contenente gli elementi di A e non di B o gli elementi di B ma non di A.
  • differenza tra B e A è l'insieme formato dai soli elementi di B che non appartengono ad A. Si indica con B \ A o con B - A. La differenza tra B e A viene anche detta insieme complementare di A in B.