Insieme

Leggi come una mappa mentale

In ambito matematico un insieme è una collezione di oggetti, detti elementi, elencati in modo che sia possibile stabilire con certezza la loro appartenenza all'insieme, in modo quindi oggettivo.

Un insieme quindi è identificato, definito, dai suoi elementi.

Quando un elemento a è un elemento dell'insieme A, si dice che a appartiene ad A, in simboli a ∈ A, quando invece un elemento b non è un elemento dell'insieme A, si dice che b non appartiene ad A, in simboli b ∉ A. Gli insiemi vengono indicati con le lettere maiuscole dell'alfabeto.

Rappresentazione

Un insieme può essere rappresentato in diversi modi.

• Per elencazione, consiste nell'elencare gli elementi separati dalla virgola tra parentesi graffe. Viene usato preferenzialmente per gli insieme finiti, insiemi con gli elementi che si possono contare.

A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

• Per caratteristica, in cui viene indicata la caratteristica che accomuna gli elementi di un insieme.

A={x|x è un numero naturale}, si legge: A è l'insieme di tutti gli x tali che x è un numero naturale.

• Graficamente, tramite il diagramma di Eulero-Venn:

Insiemi rappresentati col diagramma di Eulero-Venn

Relazione tra insiemi

Due insiemi A e B si dicono:

• Coincidenti, se sono lo stesso insieme. Questo si verifica se e solo se hanno gli stessi elementi.
• Disgiunti, se non hanno nessun elemento in comune. Per esempio $A=\{c,o,n\}$ e $B=\{p,e,r\}$.
• Un insieme B è sottoinsieme di A se A contiene gli elementi di B. Secondo la definizione ogni insieme è contenuto in sé stesso. Per esprimere questo si usa la notazione $B\subseteq A$. Se abbiamo gli insiemi $A=\{a,u,t,o\}$ e $B=\{a,o\}$, allora $B\subseteq A$.

Cardinalità

La cardinalità di un insieme è il numero che indica la numerosità dei suoi elementi. Un insieme si dice finito se ha un numero finito di elementi, infinito se contiene infiniti elementi.

L'insieme $V=\{a,e,o,i,u\}$ ha cardinalità 5 e si indica con $card(V)=5$. L'insieme $\mathbb {N}$ dei numeri naturali $N=\{1,2,3,4,...\}$ ha cardinalità infinita.

L'insieme vuoto

L'insieme vuoto è l'insieme che non contiene nessun elemento. Si indica con i simboli ∅ Φ o con due parentesi graffe, la prima aperta e l'altra chiusa {}. L'insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi altro insieme (incluso sé stesso).

Operazioni con gli insiemi

• unione: dati due insiemi A e B la loro unione è l'insieme che contiene solo e tutti gli elementi di A e B presi una sola volta. L'unione si indica A ∪ B;
• intersezione: dati un insieme A e B la loro intersezione è l'insieme che contiene tutti gli elementi appartenenti ad A e a B nello stesso tempo.
• differenza simmetrica: dati due insiemi A e B la loro differenza simmetrica è l'insieme contenente gli elementi di A e non di B o gli elementi di B ma non di A.
• differenza tra B e A è l'insieme formato dai soli elementi di B che non appartengono ad A. Si indica con B \ A o con B - A. La differenza tra B e A viene anche detta insieme complementare di A in B.

Portale:Matematica